Șirul lui Fibonacci

Șirul lui Fibonacci a fost făcut cunoscut în Europa de Leonardo din Pisa (Fibonacci), în anul 1202. Primii doi termeni sunt 1 și 1, iar fiecare termen următor este suma celor doi termeni dinaintea lui:

F_n = F_n−1 + F_n−2

Primii termeni ai șirului

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

Raportul dintre doi termeni consecutivi se apropie tot mai mult de numărul de aur, Φ ≈ 1,618.

Filotaxia

Din fișa de lucru

Filotaxia studiază modul în care organele plantelor (frunze, ramuri, flori, solzi) sunt aranjate pe tulpină sau pe un ax central. Ca o consecință a matematicii, structurile în spirală vizibile pe conurile de conifere, pe ananas sau la floarea-soarelui urmează numerele din șirul lui Fibonacci.

Solzii, semințele sau frunzele apar rotite cu aproximativ 137,5° unele față de altele, așa că ochiul vede două familii de spirale: în sens orar (dextrogire) și în sens antiorar (levogire). Pe un con de pin și pe un ananas sunt de obicei 8 și 13 spirale, iar la floarea-soarelui 34 și 55.

Figura 1. 8 spirale în sens orar (roșu) și 13 spirale în sens antiorar (albastru).

Obiective și materiale

Obiectivele din fișa de lucru

• Evidențierea structurilor spiralate la conuri / ananas.

• Determinarea numerică a spiralelor dextrogire (sens orar) și levogire (sens antiorar).

• Verificarea ipotezei conform căreia sistemele biologice folosesc numere Fibonacci consecutive.

Materialele din fișa de lucru

• conuri de pin (alte conifere), fruct ananas proaspăt;

• markere de două culori diferite.

Mod de lucru

Alegeți un solz de pornire pe con (sau pe ananas).
Cu markerul roșu marcați spiralele în sensul acelor de ceasornic și numărați-le.
Cu markerul albastru marcați și numărați spiralele în sens invers.
Treceți numerele în Tabelul 2 și calculați raportul: valoarea mare / valoarea mică.

Numărul de aur

Tabelul 1. Rapoartele dintre termeni consecutivi

Raport	Valoare	Raport	Valoare
2 / 1	2	13 / 8	1,625
3 / 2	1,5	21 / 13	1,615
5 / 3	1,667	34 / 21	1,619
8 / 5	1,6	55 / 34	1,618

Rapoartele se apropie de Φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618, numit numărul de aur sau raportul de aur. Pătratele cu laturile 1, 1, 2, 3, 5, 8 și 13 formează un dreptunghi de aur, iar arcele desenate în ele dau spirala de aur.

Figura 2. Pătratele Fibonacci și spirala de aur.

Înregistrarea și prelucrarea datelor

Tabelul 2. Numărul de spirale și raportul lor (se completează în clasă)

Eșantion analizat	Nr. spirale orar (roșu)	Nr. spirale antiorar (albastru)	Raportul (valoare mare / valoare mică)
Eșantion 1
Eșantion 2
Con de pin / ananas standard	8	13	13 / 8 = 1,625

Calcul pentru eșantionul standard: 13 / 8 = 1,625; diferența față de Φ este 0,007 (aproximativ 0,4%).

Evaluare și concluzii

Din fișa de lucru

Numerele obținute în urma numărării spiralelor fac parte din șirul lui Fibonacci.

Întrebarea din fișa de lucru

Cât de aproape este raportul calculat în tabel de valoarea teoretică a numărului de aur, Φ = 1,618?

Pentru eșantionul standard, 13 / 8 = 1,625 diferă de Φ cu doar 0,007. Cu cât numerele de spirale sunt mai mari, cu atât raportul este mai aproape de Φ (de exemplu 55 / 34 ≈ 1,618). Φ – numărul de aur, adică raportul de aur – este o proporție aproape perfectă în natură.

Concluziile noastre după test: ________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________